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Significado empírico del logaritmo

Para conocer el significado empírico del logaritmo, cargaremos las librerías tidyverse y gapminder.

library(tidyverse)
library(gapminder)

El marco de datos gapminder contiene información sobre el PIB per cápita, la esperanza de vida y la población de la mayoría de países del mundo. Buena parte de las variables numéricas, como la esperanza de vida, suelen tener un dibujo similar al que vemos en la Figura (fig:gap-normal). La mayoría de las observaciones están ubicadas más o menos en el centro de la distribución. En cambio, existen algunas variables, como el PIB per cápita, que tienen una distribución asimétrica: la mayor parte de los valores están ubicados en un extremo de la distribución mientras que sólo unos pocos casos se encuentran en el otro extremo. En el gráfico observamos cómo la mayoría de países se encuentra en valores muy bajos (piensa que hay datos de los años 50 y 60, cuando prácticamente todos los países eran pobres). Sin embargo, hay muy pocos valores por encima de 30.000.

gapminder %>%
  pivot_longer(c(lifeExp, gdpPercap), "vars") %>%
  ggplot(aes(x = value)) +
  geom_histogram(alpha = 0.4) +
  facet_wrap(.~ vars, scales = "free") +
  theme_bw()

Figure 1: Distribució del PIB per càpita i l’esperança de vida mundial

Cuando tenemos asimetría negativa, en la que la mayor parte de las observaciones están concentradas en valores bajos, utilizaremos el logaritmo para conseguir que la variable tome forma de una distribución normal. com/understanding-the-68-95-99-7-rule-for-a-normal-distribution-b7b7cbf760c2){target=“_blank”}. Si aplicamos el logaritmo a los datos de PIB per cápita del gráfico anterior, obtendremos la Figura 2.

gapminder %>%
  ggplot(aes(x = log10(gdpPercap))) +
  geom_histogram(alpha = 0.4) +
  theme_bw()

Figure 2: Distribució del PIB per càpita mundial a escala logarítmica

Con el logaritmo conseguimos modificar la forma de la distribución, de modo que podemos representar más nítidamente los casos que existen en los valores bajos. Una de las complicaciones de aplicar el logaritmo es la interpretación de estos nuevos valores, pero por suerte interpretar el logaritmo con base 10 puede resultar relativamente sencillo.

Significado teórico del logaritmo

Aplicar el logaritmo neperiano en el PIB per cápita va muy ligado a las teorías utilitaristas. Existe cierto consenso entre los economistas de que los ingresos tienen efectos marginales decrecientes en el bienestar de las personas. Es decir, una persona pobre disfrutará mucho más de 10 euros adicionales que si estos mismos 10 euros se los damos a una persona rica. El uso del logaritmo sobre el PIB per cápita reproduce esta lógica, ya que enfatizará las variaciones en los niveles bajos de la distribución y reducirá las variaciones en los niveles altos.

Lo veremos con un ejemplo ilustrativo con el marco de datos utility, que observamos en la Tabla 1. En la primera columna income hemos ubicado varios tramos de renta de una persona, empezando por 500 euros y terminando con 45.000. En la segunda columna wellbeing hemos creado una escala de bienestar, que responde a la pregunta: ¿qué bienestar tiene usted en escala de 1 a 10? Puesto que asumimos que ambas variables crecen de forma lineal, en cada incremento de nivel de renta se traducirá en un incremento de un punto en la escala de bienestar. Por ejemplo, si pasamos de ganar 500 a ganar 5.000 euros pasaremos de un bienestar 1 a un bienestar 2. Del mismo modo, si pasamos de 32.000 a 36.500 euros pasaremos de bienestar 8 a bienestar 9. En ambos casos, un incremento en 4.500 euros supone un incremento en un punto en la escala de bienestar.

utility <- tibble(income = seq(500,45000, 4500),
                  wellbeing = 1:10)

Un utilitarista nos diría que la mesa que acabamos de construir es errónea. Un aumento de ingresos en niveles bajos de renta se traduce en un aumento mucho más pronunciado en la escala de bienestar que un aumento de igual cantidad en niveles altos. Es por ello, que en la siguiente Figura (fig:log-utility) hemos deformado esta relación. El logaritmo representa ahora mejor la relación entre ingreso y bienestar. En niveles bajos, un aumento de renta se traduce en un aumento muy importante del bienestar. Por el contrario, a niveles altos, un aumento de renta se traduce en un aumento muy pequeño en bienestar.

utility %>%
  mutate(wellbeing_log = log10(wellbeing)) %>%
  pivot_longer(wellbeing:wellbeing_log, "vars") %>%
  ggplot(aes(x = income, y = value)) +
  geom_line() +
  facet_wrap(.~vars, scales = "free")

Figure 3: Relació entre renda i benestar

La relación entre renta y bienestar no es lineal, como muestra el gráfico de la izquierda. La relación toma una forma más bien similar al gráfico de la izquierda, donde hemos aplicado el logaritmo con base 10. El logaritmo se utiliza para reflejar la relación entre los ingresos y muchos fenómenos socioeconómicos, como el bienestar o la esperanza de vida . Sin ir más lejos, el Índice de Desarrollo Humano utiliza el logaritmo “para reflejar los rendimientos decrecientes de transformar los ingresos en capacidades humanas. En otras palabras, las personas no necesitan excesivos recursos financieros para asegurarse un estándar de vida decente” (UNDP 1990, 12; ver también Haq 1999, 49). - [x] Más información: The Society Pages