3. Construir un índice

MinMax

El IDH utiliza el método MinMax, que consiste en convertir los parámetros de la distribución en una escala de 0 a 1 asignando un valor mínimo y un valor máximo. Esta es la fórmula mediante la que se obtienen los valores con el método MinMax:

\[MinMax = \frac{valor - valor.minimo}{valor.maximo - valor.minimo}\]

Intentaremos ahora aplicar el método MinMax a la esperanza de vida (columna LE), de la forma como lo ha hecho el PNUD en sus notas técnicas. En la página 2 se justifica una normalización teórica de los valores, por los que se establece 85 como valor máximo de la distribución y 20 como valor mínimo. Aplicamos el método MinMax según esta información:

\[MinMax(LE) = \frac{valor(LE) - 20}{85 - 20}\]

Ahora podemos aplicar esta fórmula a todos los países de la base de datos, de forma que, si un país se acerca al máximo de 85, tendrá un valor próximo a 1, mientras que, si un país se acerca al mínimo de 20, tendrá un valor próximo a 0. En la siguiente Tabla 3, hemos aplicado la fórmula en unos cuantos países de la muestra. Japón tiene un valor próximo a 1 porque tiene una esperanza de vida de 83.9, muy cerca del máximo, que es 85. Por el contrario, Sierra Leona tiene una esperanza de vida de 52.2 y recibe un índice de 0.495.

Con el mínimo y el máximo que el PNUD establece para cada indicador, ya podemos normalizarlos aplicando a cada uno de ellos la fórmula que les corresponde. En el caso del GNI, el valor máximo son 75.000 dólares, y el valor mínimo 100 dólares. Por lo tanto, si un país es muy pobre y de media sus habitantes ganan 100 dólares al año, le asignaremos un valor 0, y si un país es muy rico y de media sus habitantes ganan 75.000 dólares al año, le asignaremos un valor 1. El resto de los países oscilarán entre 0 a 1 en función de estos valores mínimo y máximo. El cálculo del GNI se hace mediante el logaritmo neperiano, de forma que los incrementos de renta en valores bajos son más sensibles al índice que los incrementos de renta en valores altos. En la dimensión de la educación, debemos tener presente que hay dos variables: la media de años de escolarización y la escolarización esperada.

La Tabla 4 representa el resultado de aplicar el código que encontramos a continuación en el objeto hdi_t. Hemos repetido los países seleccionados en la tabla anterior y hemos aplicado el método MinMax a los cuatro indicadores. Podéis observar también que hemos mantenido una columna con el IDH original (columna IDH) y hemos creado nuestro propio IDH (le llamamos IDH2) a partir de la media de los indicadores normalizados¹. Tendríamos que esperar que los valores de la columna IDH coincidan con la columna IDH2 que hemos creado nosotros (aviso: veréis que no coinciden). Para ser fieles al sistema IDH, también hemos redondeado las cifras resultantes a tres decimales con la función round().

hdi_t <- hdi %>%
  mutate(GNI_MM = if_else(GNI > 75000, 1, round((log(GNI) - log(100)) / (log(75000) - log(100)), 3)),
         E1_MM = if_else(E1 > 18, 1, round(((E1 - 0) / (18 - 0)), 3)),
         E2_MM = if_else(E2 > 15, 1, round((E2 - 0) / (15 - 0), 3)),
         LE_MM = round((LE - 20) / (85 - 20), 3),
         IDH2 = round((GNI_MM + E1_MM + E2_MM + LE_MM) / 4, 3))
hdi_t %>%
  select(country, GNI_MM, E1_MM, E2_MM, LE_MM, IDH2, IDH) %>%
  filter(country %in% c("Estados Unidos", "Argentina", "República Democrática del Congo", "Japón", "Sierra Leona")) %>%
  arrange(desc(IDH2))

Las columnas GNI_MM, E1_MM, E2_MM i LE_MM nos muestran los indicadores normalizados de cada uno de los países de nuestra selección. La normalización permite convertir magnitudes diferentes en parámetros que se mueven en la misma escala. Con el método MinMax, los indicadores se mueven en escala de 0 a 1, de forma que nos resulta más fácil compararlos entre ellos y mezclar peras y manzanas. En la columna IDH2 se muestra la media de los cuatro indicadores². Si la comparamos con el IDH real (columna IDH), vemos que los valores son parecidos entre columnas pero no coinciden exactamente. Esto quiere decir que todavía nos falta algún procedimiento más por hacer. En concreto, todavía tenemos que ver cómo se ponderan y se agregan las variables del índice.

Antes de seguir con los pasos de construcción de un índice con los métodos de ponderación y agregación, veremos otras maneras de establecer los valores mínimo y máximo con el método MinMax y también veremos otros métodos de normalización diferentes al MinMax. Hasta ahora os hemos explicado que el PNUD ha utilizado una normalización teórica. Cuando normalizamos teóricamente, estamos usando alguna razón concreta basada en supuestos teóricos para justificar los valores mínimos y máximos de los indicadores. Establecemos que un número concreto será el mínimo y otro número será el valor máximo y les asignamos los valores 0 y 1.

La otra opción que tenemos es la normalización empírica. Cuando normalizamos empíricamente, cogemos el mínimo y el máximo de los valores que tenemos en nuestra distribución para normalizar. No establecemos ningún valor a priori, sino que simplemente tomamos como referencia el valor máximo y el mínimo de nuestros datos y les asignamos los valores 0 y 1. El resto de los valores se moverán entre estos intervalos.

En la siguiente Tabla 5, hemos normalizado empíricamente los cuatro indicadores del IDH y hemos seleccionado los países que tienen el valor máximo y el valor mínimo de cada indicador, así como los que tienen el valor máximo y el valor mínimo en el IDH2t que anteriormente hemos normalizado teóricamente y el IDHe que acabamos de normalizar empíricamente.

En código de R, para establecer un método MinMax empírico se haría lo siguiente: (x - min(x)) / (max(x) - min(x)). Esta función localiza el valor mínimo y el valor máximo de la distribución, de forma que todos los valores oscilarán entre estos dos extremos. Por ejemplo, si el valor máximo fuera 50 y el mínimo 10, el valor 25 se normalizaría de la siguiente forma: (25 - 10) / (50 - 10) = 15 / 40 = 0.375. Para un MinMax teórico, tienen que sustituirse los máximos y los mínimos por los valores que establezcamos teóricamente.

minmax <- hddata_tidy %>%
  filter(!is.na(x)) %>% #eliminamos datos perdidos
  mutate(indice = round((x - min(x)) / (max(x) - min(x)), 3)) %>%
  select(country_name, year, indice) %>%
  arrange(desc(indice))
head(minmax)
tail(minmax)

ZScores

El método ZScores tiene una lógica diferente al MinMax, puesto que los puntos de referencia clave para construir el indicador no son el valor máximo y el valor mínimo, sino la media y la desviación típica de la distribución³. Este método de normalización establece como valor 0 la media de nuestra muestra, mientras que todos los casos varían en función de su posición respecto a la media, teniendo en cuenta la desviación típica.

El siguiente paso para normalizar con ZScores será dividir cada valor por la desviación típica de la distribución. La desviación típica nos dice cuán dispersos están los valores respecto a la media según las unidades con las que están medidos los valores de la distribución. Es decir, ZScores divide el numerador por un denominador pequeño (la desviación típica) si los valores de la distribución están muy cerca de la media o tienen valores pequeños, mientras que dividirá el numerador por un denominador mayor si los valores de la distribución están más alejados de la media o tienen valores mayores.

displ <- c(1,2,3,10,15,19,20)
closel <- c(1,7,9,10,11,12,20)

plot(displ, closel)
points(mean(displ), mean(closel), col = "red")

(displ - mean(displ))/sd(displ) 
(closel - mean(closel))/sd(closel) 

displb <- displ * 10
closelb <- closel * 10

En el siguiente código, hemos aplicado la normalización de los indicadores del IDH con ZScores (x - mean(x)) /sd(x)) para crear el marco de datos hdi_ZS. En la siguiente Tabla 6, observamos los países que tienen los valores más extremos de cada indicador, así como el país que tiene el IDH más próximo a la media.

hdi_ZS <- hdi_t %>%
  mutate(GNI_ZS = round((log(GNI) - mean(log(GNI))) /sd(log(GNI)), 3),
         E1_ZS = round((E1 - mean(E1)) / (sd(E1)), 3),
         E2_ZS = round((E2 - mean(E2)) / (sd(E2)), 3),
         LE_ZS = round((LE - mean(LE)) / (sd(LE)), 3),
         IDHZS = round((GNI_ZS + E1_ZS + E2_ZS + LE_ZS) / 4, 3)) %>%
  select(country, GNI_ZS, E1_ZS, E2_ZS, LE_ZS, IDHZS)

Fijaos que la normalización con ZScores solo puede ser empírica, puesto que los dos puntos de la distribución que necesitamos para normalizar (la media y la desviación típica) vienen marcados por los datos, no por la teoría. Esto quiere decir que no elegimos cómo normalizar a partir de ningún razonamiento conceptual o teórico, sino que lo hacemos a partir de la sustancia empírica que tenemos disponible.

Escala

El método Escala consiste en ordenar los valores de la distribución en un ranking. Al valor más alto se le asignará el valor 1, mientras que al valor más bajo se le asignará el valor 0. El resto de los valores variarán entre 1 y 0 y se normalizarán en función de la posición que ocupan en el ranking. A diferencia del MinMax, el método Escala no tiene en cuenta la distancia de un determinado valor respecto al valor máximo y el valor mínimo, sino que solo tiene en cuenta cuál es la posición que ocupa cada valor en la distribución ordenada. Así, en una distribución con 5 casos, el valor más alto recibiría el valor 1, el segundo valor más alto 0.75, el tercero 0.50, el cuarto 0.25 y el valor más bajo 0. Todos los valores normalizados tienen la misma distancia entre sí independientemente de cuán cerca o lejos estuvieran los valores en la distribución original. El método Escala divide el intervalo entre 0 y 1 con tantas partes como observaciones tengamos a nuestra distribución y asigna a cada observación un lugar en función de su posición en el ranking. Esto quiere decir que una observación tendrá la misma distancia con la observación de delante y la observación de detrás.

\[Escala = \frac{puesto.ranking}{num.paises}\] Trasladado a código R, la forma para normalizar según el método de Escala es percent_rank(). También existen funciones que aplican algunas variantes. Podéis consultarlas con ?ranking.

one <- c(0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100)
two <- c(0, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10)
three <- c(1, 2)
four <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)
five <- c(1, 2, 3, 4, 5, 60000)

En el siguiente código, hemos normalizado los valores originales del IDH con el método Escala y hemos creado el objeto hdi_ES. A continuación, hemos generado la Tabla 7 con las primeras diez observaciones del marco de datos. Fijaos que el país con los valores más altos de cada columna tiene asignado el valor 1, el segundo el valor 0.995, el tercero el valor 0.989, el cuarto el valor 0.984, y así sucesivamente. Esto significa que, en este caso, el intervalo que separa cada una de las posiciones del ranking es de entre 0.005 y 0.006.

hdi_ES <- hdi_t %>%
  mutate(GNI_ES = round((percent_rank(log(GNI))), 3),
         E1_ES = round((percent_rank(E1)), 3),
         E2_ES = round((percent_rank(E2)), 3),
         LE_ES = round((percent_rank(LE)), 3),
         IDHES = round((GNI_ES + E1_ES + E2_ES + LE_ES) / 4, 3)) %>%
  select(P, country, GNI_ES, E1_ES, E2_ES, LE_ES, IDHES) %>%
  arrange(desc(IDHES)) %>%
  mutate(P = 1:n(),
         IDHES = round((percent_rank(IDHES)), 3))