Altres

Significat empíric del logaritme

Per conèixer el significat empíric del logaritme, carregarem les llibreries tidyverse i gapminder.

library(tidyverse)
library(gapminder)

El marc de dades gapminder conté informació sobre el PIB per càpita, l’esperança de vida i la població de la majoria de països del món. Bona part de les variables numèriques, com l’esperança de vida, acostumen a tenir un dibuix semblant al que veiem a la Figura 1. La majoria de les observacions estan ubicades més o menys al centre de la distribució. En canvi, hi ha algunes variables, com el PIB per càpita, que tenen una distribució asimètrica: la major part dels valors estan ubicats a un extrem de la distribució mentre que només uns pocs casos es troben a l’altre extrem. Al gràfic observem com la majoria de països es troba en valors molt baixos (penseu que hi ha dades dels anys 50 i 60, quan pràcticament tots els països eren pobres). En canvi, hi ha molts pocs valors per sobre de 30.000.

gapminder %>%
  pivot_longer(c(lifeExp, gdpPercap), "vars") %>%
  ggplot(aes(x = value)) +
  geom_histogram(alpha = 0.4) +
  facet_wrap(.~ vars, scales = "free") +
  theme_bw()

Figure 1: Distribució del PIB per càpita i l’esperança de vida mundial

Quan tenim asimetria negativa, en què la major part de les observacions estan concentrades en valors baixos, utilitzarem el logaritme per tal d’aconseguir que la variable prengui forma d’una distribució normal. Si apliquem el logaritme a les dades de PIB per càpita del gràfic anterior, obtindrem la Figura 2.

gapminder %>%
  ggplot(aes(x = log10(gdpPercap))) +
  geom_histogram(alpha = 0.4) +
  theme_bw()

Figure 2: Distribució del PIB per càpita mundial a escala logarítmica

Amb el logaritme aconseguim modificar la forma de la distribució, de manera que podem representar més nítidament els casos que hi ha en els valors baixos. Una de les complicacions d’aplicar el logaritme és la interpretació d’aquests nous valors, però per sort interpretar el logaritme amb base 10 pot acabar resultant relativament senzill.

Significat teòric del logaritme

Aplicar el logaritme neperià al PIB per càpita va molt lligat a les teories utilitaristes. Hi ha un cert consens entre els economistes que els ingressos tenen efectes marginals decreixents en el benestar de les persones. És a dir, una persona pobre gaudirà molt més de 10 euros addicionals que no pas si aquests mateixos 10 euros els donem a una persona rica. L’ús del logaritme sobre el PIB per càpita reprodueix aquesta lògica, ja que emfatisarà les variacions als nivells baixos de la distribució i reduirà les variacions als nivells alts.

Ho veurem amb un exemple il·lustratiu amb el marc de dades utility, que observem a la Taula 1. A la primera columna income hi hem ubicat varis trams de renda d’una persona, començant per 500 euros i acabant amb 45.000. A la segona columna wellbeing hem creat una escala de benestar, que respon a la pregunta: quin benestar té vostè en escala de 1 a 10? Com que assumim que les dues variables creixen de forma lineal, a cada increment de nivell de renda es traduirà en un increment d’un punt a l’escala de benestar. Per exemple, si passem de guanyar 500 a guanyar 5.000 euros passarem d’un benestar 1 a un benestar 2. De la mateixa manera, si passem de 32.000 a 36.500 euros passarem de benestar 8 a benestar 9. En els dos casos, un increment en 4.500 euros suposa un increment en un punt a l’escala de benestar.

utility <- tibble(income = seq(500,45000, 4500),
                  wellbeing = 1:10)

Un utilitarista ens diria que la taula que acabem de construir és errònia. Un augment d’ingressos en nivells baixos de renda es tradueix en un augment molt més pronunciat en l’escala de benestar que un augment de la mateixa quantitat en nivells alts. És per això, que en la següent Figura 3 hem deformat aquesta relació. El logaritme ara representa millor la relació entre ingrés i benestar. A nivells baixos, un augment de renda es tradueix en un augment molt important del benestar. En canvi, a nivells alts, un augment de renda es tradueix en un augment molt petit en benestar.

utility %>%
  mutate(wellbeing_log = log10(wellbeing)) %>%
  pivot_longer(wellbeing:wellbeing_log, "vars") %>%
  ggplot(aes(x = income, y = value)) +
  geom_line() +
  facet_wrap(.~vars, scales = "free")

Figure 3: Relació entre renda i benestar

La relació entre renda i benestar no és lineal, com mostra el gràfic de l’esquerra. La relació pren una forma més aviat similar al gràfic de l’esquerra, on hem aplicat el logaritme amb base 10. El logaritme s’utilitza per reflectir la relació entre els ingressos i molts fenòmens socioeconòmics, com el benestar o l’esperança de vida. Sense anar més lluny, l’Índex de Desenvolupament Humà utilitza el logaritme “per reflectir els rendiments decreixents de transformar els ingressos en capacitats humanes. En altres paraules, les persones no necessiten excessius recursos financers per assegurar-se un estàndard de vida decent” (UNDP 1990, 12; veure també Haq 1999, 49).

• Més informació: The Society Pages