3. Construir un índex

MinMax

L’IDH utilitza el mètode MinMax, que consisteix a convertir els paràmetres de la distribució en una escala de 0 a 1 assignant un valor mínim i un valor màxim. Aquesta és la fórmula mitjançant la qual s’obtenen els valors a través del mètode MinMax:

\[MinMax = \frac{valor - valor.minim}{valor.maxim - valor.minim}\] Intentem ara aplicar el mètode MinMax a l’esperança de vida (columna LE) de la manera com ha fet el PNUD en les seves notes tècniques. A la pàgina 2 es justifica una normalització teòrica dels valors, pels quals s’estableix 85 com a valor màxim de la distribució i 20 com a valor mínim. Apliquem el mètode MinMax segons aquesta informació:

\[MinMax(LE) = \frac{valor(LE) - 20}{85 - 20}\]

Ara podem aplicar aquesta fórmula a tots els països de la base de dades, de manera que si un país s’acosta al màxim de 85 tindrà un valor proper a 1 mentre que si un país s’acosta al mínim de 20 tindrà un valor proper a 0. En la següent Taula 3 hem aplicat la fórmula a uns quants països de la mostra. El Japó té un valor proper a 1 perquè té una esperança de vida de 83.9, molt a prop del màxim que és 85. Per contra, Sierra Leone té una esperança de vida de 52.2 i rep un índex de 0.495.

Amb el mínim i el màxim que el PNUD estableix per a cada indicador, ja podem normalitzar-los aplicant a cadascun d’ells la fórmula que els correspon. En el cas del GNI, el valor màxim són 75.000 dòlars i el valor mínim 100 dòlars. Per tant, si un país és molt pobre i de mitjana els seus habitants guanyen 100 dòlars l’any li assignarem un valor 0 i si un país és molt ric i de mitjana els seus habitants guanyen 75.000 dòlars l’any li assignarem un valor 1. La resta de països oscil·laran entre 0 a 1 en funció d’aquests valors mínim i màxim. El càlcul del GNI es fa mitjançant el logaritme neperià, de manera que els increments de renda en valors baixos són més sensibles a l’índex que no pas els increments de renda en valors alts. En la dimensió d’educació hem de tenir present que hi ha dues variables: la mitjana d’anys d’escolarització i l’escolarització esperada.

La Taula 4 representa el resultat d’aplicar el codi que trobem a continuació a l’objecte hdi_t. Hem replicat els països seleccionats a la taula anterior i hem aplicat el mètode MinMax a tots quatre indicadors. Podeu observar també que hem mantingut una columna amb l’IDH original (columna IDH) i hem creat el nostre propi IDH (li diem IDH2) a partir de la mitjana dels indicadors normalitzats ¹. Hauríem d’esperar que els valors de la columna IDH coincideixin amb la columna IDH2 que hem creat nosaltres (avís: veureu que no coincideixen). Per ser fidels al sistema IDH, també hem arrodonit les xifres resultants a tres decimals amb la funció round().

hdi_t <- hdi %>%
  mutate(GNI_MM = if_else(GNI > 75000, 1, round((log(GNI) - log(100)) / (log(75000) - log(100)), 3)),
         E1_MM = if_else(E1 > 18, 1, round(((E1 - 0) / (18 - 0)), 3)),
         E2_MM = if_else(E2 > 15, 1, round((E2 - 0) / (15 - 0), 3)),
         LE_MM = round((LE - 20) / (85 - 20), 3),
         IDH2 = round((GNI_MM + E1_MM + E2_MM + LE_MM) / 4, 3))
hdi_t %>%
  select(country, GNI_MM, E1_MM, E2_MM, LE_MM, IDH2, IDH) %>%
  filter(country %in% c("Estats Units", "Argentina", "Congo - Kinshasa", "Japó", "Sierra Leone")) %>%
  arrange(desc(IDH2))

Les columnes GNI_MM, E1_MM, E2_MM i LE_MM ens mostren els indicadors normalitzats de cada un dels països de la nostra selecció. La normalització permet convertir magnituds diferents en paràmetres que es mouen en la mateixa escala. Amb el mètode MinMax els indicadors es mouen en escala de 0 a 1, de manera que ens resulta més fàcil comparar-los entre ells i barrejar peres i pomes. A la columna IDH2 es mostra la mitjana dels quatre indicadors². Si la comparem amb l’IDH real (columna IDH), veiem que els valors són semblants entre columnes però no coincideixen exactament. Això vol dir que encara ens falta algun procediment més per fer. En concret, encara hem de veure com es ponderen i s’agreguen les variables de l’índex.

Abans de continuar els passos de construcció d’un índex amb els mètodes de ponderació i agregació, veurem altres maneres d’establir els valors mínim i màxim amb el mètode MinMax i també veurem altres mètodes de normalització diferents al MinMax. Fins ara us hem explicat que el PNUD ha utilitzat una normalització teòrica. Quan normalitzem teòricament, estem utilitzant alguna raó concreta basada en supòsits teòrics per justificar els valors mínims i màxims dels indicadors. Establim que un número concret serà el mínim i un altre número serà el valor màxim i els hi assignem els valors 0 i 1.

L’altra opció que tenim és la normalització empírica. Quan normalitzem empíricament, agafem el mínim i el màxim dels valors que tenim a la nostra distribució per normalitzar. No establim cap valor a priori, sinó que simplement prenem com a referència el valor màxim i el mínim de les nostres dades i els hi assignem els valors 0 i 1. La resta de valors es mouran entre aquests intervals.

En la següent Taula 5 hem normalitzat empíricament els quatre indicadors de l’IDH i hem seleccionat els països que tenen el valor màxim i el valor mínim de cada indicador, així com també els que tenen el valor màxim i el valor mínim en l’IDH2t que anteriorment hem normalitzat teòricament i l’IDHe que acabem de normalitzar empíricament.

En codi d’R, per establir un mètode MinMax empíric seria el següent: (x - min(x)) / (max(x) - min(x)). Aquesta funció localitza el valor mínim i el valor màxim de la distribució, de manera que tots els valors oscil·laran entre aquests dos extrems. Per exemple, si el valor màxim fos 50 i el mínim 10, el valor 25 es normalitzaria de la següent manera: (25 - 10) / (50 - 10) = 15 / 40 = 0.375. Per a un MinMax teòric, s’han de substituir els màxims i els mínims pels valors que vulguem.

minmax <- hddata_tidy %>%
  filter(!is.na(x)) %>% #eliminem dades perdudes
  mutate(index = round((x - min(x)) / (max(x) - min(x)), 3)) %>%
  select(country_name, year, index) %>%
  arrange(desc(index))
head(minmax)
tail(minmax)

ZScores

El mètode ZScores té una lògica diferent al MinMax, ja que els punts de referència clau per construir l’indicador no són el valor màxim i el valor mínim, sinó la mitjana i la desviació típica de la distribució³. Aquest mètode de normalització estableix com a valor 0 la mitjana de la nostra mostra, mente que tots els casos varien en funció de la seva posició respecte la mitjana, tenint en compte la desviació típica.

\[ZScores = \frac{valor - mitjana}{desviacio.tipica}\]

Fixem-nos amb la fórmula de ZScores. A la part del numerador estem restant la mitjana al valor d’un país determinat. Això farà que en la normalització final els valors que estiguin per sobre de la mitjana de la distribució tinguin signe positiu mentre que els valors que estiguin per sota de la mitjana tinguin signe negatiu. Si algún nombre coincideix amb la mitjana, aquest tindrà valor 0.

El següent pas per normalitzar amb ZScores serà dividir cada valor per la desviació típica de la distribució. La desviació típica ens diu com de dispersos estan els valors respecte la mitjana segons les unitats amb què estan mesurats els valors de la distribució. És a dir, ZScores divideix el numerador per un denominador petit (la desviació típica) si els valors de la distribució estan molt a prop de la mitjana o tenen valors petits, mentre que dividirà el numerador per un denominador més gran si els valors de la distribució estan més allunyats de la mitjana o tenen valors més grans.

displ <- c(1,2,3,10,15,19,20)
closel <- c(1,7,9,10,11,12,20)

plot(displ, closel)
points(mean(displ), mean(closel), col = "red")

(displ - mean(displ))/sd(displ) 
(closel - mean(closel))/sd(closel) 

displb <- displ * 10
closelb <- closel * 10

En el codi següent hem aplicat la normalització dels indicadors de l’IDH amb ZScores (x - mean(x)) /sd(x)) per crear el marc de dades hdi_ZS. A la següent Taula 6 observem els països que tenen els valors més extrems de cada indicador, així com el país que té l’IDH més proper a la mitjana.

hdi_ZS <- hdi_t %>%
  mutate(GNI_ZS = round((log(GNI) - mean(log(GNI))) /sd(log(GNI)), 3),
         E1_ZS = round((E1 - mean(E1)) / (sd(E1)), 3),
         E2_ZS = round((E2 - mean(E2)) / (sd(E2)), 3),
         LE_ZS = round((LE - mean(LE)) / (sd(LE)), 3),
         IDHZS = round((GNI_ZS + E1_ZS + E2_ZS + LE_ZS) / 4, 3)) %>%
  select(country, GNI_ZS, E1_ZS, E2_ZS, LE_ZS, IDHZS)

Fixeu-vos que la normalització amb Z-Scores només pot ser empírica ja que els dos punts de la distribució que necessitem per normalitzar (la mitjana i la desviació típica) venen marcats per les dades, no per la teoria. Això vol dir que no triem com normalitzar a partir de cap raonament conceptual o teòric, sinó que ho fem a partir de la substància empírica que tenim disponible.

Escala

El mètode Escala consisteix a ordenar els valors de la distribució en un rànquing. El valor més alt se li assignarà el valor 1 mentre que el valor més baix se li assignarà el valor 0. La resta de valors variaran entre 1 i 0 i es normalitzaran en funció de la posició que ocupen en el rànquing. A diferència del MinMax, el mètode Escala no té en compte la distància d’un determinat valor respecte el valor màxim i el valor mínim, sinó que només té en compte quina és la posició que ocupa cada valor en la distribució ordenada. Així, en una distribució amb 5 casos, el valor més alt rebria el valor 1, el segon més alt valor 0.75, el tercer 0.50, el quart 0.25 i el valor més baix 0. Tots els valors normalitzats tenen la mateixa distància entre sí independentment de com de prop o de lluny estiguessin els valors en la distribució original. El mètode Escala divideix l’interval entre 0 i 1 amb tantes parts com observacions tinguem a la nostra distribució i assigna a cada observació un lloc en funció de la seva posició en el rànquing. Això vol dir que una observació tindrà la mateixa distància amb la observació de davant i l’observació de darrere.

\[Escala = \frac{lloc.ranking}{num.paisos}\]

Traslladat a codi R, la manera per normalitzar segons el mètode d’Escala és percent_rank(). També existeixen funcions que apliquen algunes variants. Podeu consultar-les amb ?ranking.

one <- c(0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100)
two <- c(0, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10)
three <- c(1, 2)
four <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)
five <- c(1, 2, 3, 4, 5, 60000)

En el següent codi hem normalitzat els valors originals de l’IDH amb el mètode Escala i hem creat l’objecte hdi_ES. A continuació, hem generat la Taula 7 amb les primeres 10 observacions del marc de dades. Fixeu-vos com el país amb els valors més alts de cada columna té assignat el valor 1, el segon el valor 0.995, el tercer el valor 0.989, el quart el valor 0.984, i així successivament. Això significa que, en aquest cas, l’interval que separa cada una de les posicions del rànquing és d’entre 0.005 i 0.006.

hdi_ES <- hdi_t %>%
  mutate(GNI_ES = round((percent_rank(log(GNI))), 3),
         E1_ES = round((percent_rank(E1)), 3),
         E2_ES = round((percent_rank(E2)), 3),
         LE_ES = round((percent_rank(LE)), 3),
         IDHES = round((GNI_ES + E1_ES + E2_ES + LE_ES) / 4, 3)) %>%
  select(P, country, GNI_ES, E1_ES, E2_ES, LE_ES, IDHES) %>%
  arrange(desc(IDHES)) %>%
  mutate(P = 1:n(),
         IDHES = round((percent_rank(IDHES)), 3))

Per últim, comprovarem com canvia d’índex segons els diferents mètodes de normalització que hem après. En la Taula 8 podem observar la posició que ocupen els països amb un IDH més elevat segons els diferents mètodes de normalització que hem vist (MinMax teòric, MinMax empíric, ZScores i Escala). Veiem que Noruega ocuparia el primer lloc si normalitzéssim segons els procediments de PNUD (que utilitza MinMax i decideix els mínims i els màxims de forma teòrica), mentre que ocuparia entre el segon i el quart lloc segons els altres mètodes de normalització. Austràlia, en canvi, tercera en la columna IDH2t, ocuparia el primer lloc en les altres.

Aquesta darrera taula ens ajuda a reflexionar sobre la conclusió més important d’aquest apartat: la posició que ocupen cada una de les observacions ordenades en un rànquing és sensible al mètode de normalització que escollim. Normalitzar és un pas necessari en la construcció d’un índex però que també distorsiona el valor que rebrà cada observació. És important, doncs, que justifiquem molt bé els motius pels quals triem un mètode de normalització i no un altre.⁴

Ponderació teòrica

La ponderació teòrica dels indicadors es fonamenta a partir de la conceptualització que hem fet d’allò que estem mesurant. En la conceptualització de l’IDH, per exemple, s’argumenta que el desenvolupament humà està format per tres dimensions principals: l’educació, els ingressos i la salut. A més, també diu que no hi ha cap part que sigui més important que l’altra. Això significa que a l’hora d’establir pesos, cada dimensió valdrà el mateix.

L’IDH està ponderat sota fonaments teòrics. Si repassem algunes de les teoritzacions principals sobre el desenvolupament humà, hi trobarem pàgines i pàgines a justificar, en primer lloc, què entenen per desenvolupament humà, i en segon lloc, quines poden ser unes bones mesures del desenvolupament humà (Sen 1981; UNDP 1990; Haq 1999). En la seva teoria de les capacitats, Sen explicava que les persones no només han de tenir capacitat econòmica, sinó també han de tenir la capacitat de transformar recursos en activitats valuoses (això ens ho pot facilitar l’educació) i així com la capacitat de fer coses amb el seu temps lliure (per tant hauran de gaudir de bona salut).

Així doncs, l’IDH hauria de constar de tres dimensions que a priori haurien de tenir el mateix pes entre elles: ingressos, educació i salut. Per tant, haurem de ponderar els quatre indicadors que tenim per tal que tinguem tres dimensions amb el mateix pes cada una. Fins ara hem fet una simple suma i com que teníem quatre indicadors, que cada indicador representava un 25% del valor total de l’IDH. Com que resulta que cada dimensió representa un terç de l’índex, la ponderació teòrica hauria de ser de la següent manera:

• Ingressos: La dimensió valdrà un terç de l’índex i estarà formada per l’indicador GNI per càpita.
• Educació: La dimensió valdrà un terç de l’índex i estarà formada pels indicadors educació esperada i educació mitjana. Per tant, cada un d’aquests indicadors valdrà una sisena part de l’índex final.
• Sanitat: La dimensió valdrà un terç de l’índex i estarà formada per la variable esperança de vida.

Amb aquesta informació, ja podem ponderar les variables de l’IDH per tal que totes les dimensions comptin un terç sobre l’índex final. Si ens ho mirem des de la perspectiva de les variables, la variable que conforma la dimensió d’ingressos comptarà un terç sobre l’índex final, les dues variables d’educació comptaran una sisena part de l’índex final i la variable que conforma la dimensió de sanitat comptarà un terç sobre l’índex final. A la següent Taula 9 en veiem el resultat, on observem els cinc països millor puntuats i els cinc pitjor puntuats. Hem creat la columna E_MM, que és la mitjana de les dues variables d’educació ((E1_MM+E2_MM)/2). La columna IDHp ens mostra la ponderació que hem aplicat mentre que la columna IDH ens mostra l’IDH tal com està calculat pel PNUD (avís: veureu que no coincideixen).

Com veieu, després de normalitzar els indicadors de l’IDH i ponderar-los amb els mètodes apropiats, encara no hem aconseguit replicar els valors finals de l’índex. Això es deu a que l’IDH té algun altre mecanisme pel qual penalitza els valors baixos. Aquest efecte es nota menys en els països millor classificats a la taula, ja que tenen valors molt semblants en les tres dimensions. En canvi, és més freqüent trobar valors dispars entre els països classificats a la part mitja i baixa del rànquing de l’IDH. Aquests són els més penalitzats en l’índex final. Quan estudiem l’últim pas, l’agregació, veurem quin és aquest mecanisme de penalització i per què s’aplica així.

Ponderació empírica

La ponderació teòrica que hem vist fins ara va de la teoria a les dades: fem un raonament teòric i pensem què té sentit des d’un punt de vista conceptual, establim les dimensions del concepte i ho traslladem a les dades com ho hem fet en l’apartat anterior. La ponderació empírica, en canvi, obvia l’exercici teòric i es mou només en el terreny de les dades. En altres paraules, deixa que les dades parlin i ens diguin què té sentit des del punt de vista empíric.

La ponderació empírica requereix normalment utilitzar alguns procediments estadístics més sofisticats, que s’escapen de l’objectiu d’aquesta obra. Per tant, no els entrarem a analitzar amb molt de detall. La idea clau d’aquest tipus de ponderació està associada amb el significat empíric dels seus indicadors: dues variables tenen el mateix significat empíric quan els valors d’una variable varien exactament igual que els valors de l’altra. Sota aquest punt de vista, sembla raonable que, si ens estan dient exactament el mateix, no tingui massa sentit que formin part de dimensions diferents.

L’IDH no utilitza la ponderació empírica i els procediments per ponderar empíricament s’escapen dels objectius d’aquesta obra. Si en voleu saber més, podeu consultar tècniques com l’Anàlisi Factorial (en anglès Factor Analysis) i l’Anàlisi dels Components Principals (en anglès Principal Components Analysis (PCA))⁵. Aquestes tècniques utilitzen la variança de les combinacions linears dels diferents indicadors per determinar els pesos a partir de l’extracció dels factors/components subjacents⁶. En el manual de construcció d’indicadors de l’OCDE podem trobar un bon exemple de com es construeix un índex mitjançant PCA (OECD 2008: 63-72).